В 1986 году окончил лечебный факультет Минского государственного медицинского института. После окончания интернатуры по терапии в 1987 году работал участковым врачом в поликлинике г. Клецка. В 1990 – 1993 годах учился в аспирантуре по специальности «Внутренние болезни» на кафедре пропедевтики внутренних болезней Минского государственного медицинского института. С 1990 года работал ассистентом кафедры пропедевтики внутренних болезней Минского государственного медицинского института, с 2000 года – ассистентом 1-й кафедры внутренних болезней. В 2002 году успешно защитил кандидатскую диссертацию по специальности «Внутренние болезни». С 2002 года – доцент 1-й кафедры внутренних болезней учреждения образования «Белорусский государственный медицинский университет, с июля 2016 года по июнь 2024 года – заведующий этой же кафедрой, с июля 2024 года – заведующий кафедрой внутренних болезней, гастроэнтерологии и нутрициологии с курсом повышения квалификации и переподготовки. С 2025 года назначен деканом лечебного факультета учреждения образования «Белорусский государственный медицинский университет.
В 2010 году за высокие достижения в работе награжден нагрудным знаком «Отличник Здравоохранения Республики Беларусь».
Имеет более 200 научных публикаций, в том числе и за рубежом. Является научным руководителем кандидатской диссертации.
Алексейчик С.Е. имеет высшую квалификационную категорию, занимается лечебной работой, проводит клинические обходы в курируемых кафедрой отделениях учреждения здравоохранения «10-й городская клиническая больница», участвует в консилиумах.
Под руководством Алексейчика С.Е. выполнена кафедральная тема НИР «Изучение клинико-функционального состояния пациентов с хронической обструктивной болезнью легких, бронхиальной астмой и профессиональными заболеваниями легких». Также выполнены две темы в рамках ГПНИ «Метод лечения пациентов с тяжелыми внебольничными пневмониями, осложненным острым респираторным дистресс-синдромом, с использованием биомедицинского клеточного продукта на основе пулированных аллогенных мезенхимальных стволовых клеток», «Изучение динамику состояния гуморального и клеточного иммунитета у пациентов после перенесённой внебольничной пневмонии, вызванной вирусом SARS-CoV-2, с целью прогнозирования продолжительности иммунной защиты». По результатам выполнения НИР получена инструкция на метод. Имеется один патент и два рацпредложения.
За значительный вклад и профессионализм при оказании медицинской помощи пациентам с COVID-19 объявлена благодарность Президента Республики Беларусь А.Г.Лукашенко, награжден медалью ордена Святителя Кирилла Туровского, Почетной грамотой Министерства здравоохранения Республики Беларусь (2021 год), нагрудным знаком за заслуги в развитии отраслевого профсоюза (2020 год), имеет благодарность ректора университета.