В 1982 году окончил Минский ордена Трудового Красного Знамени государственный медицинский институт. В 1983 году закончил интернатуру по специальности «анестезиология и реаниматология» и в период с 1983 по 1989 год работал врачом анестезиологом-реаниматологом 9-й ГКБ, а затем в детском хирургическом центре 1-й ГКБ г. Минска. В 1989 поступил в очную аспирантуру при кафедре анестезиологии и реаниматологии детского возраста ЦОЛИУВ г. Москвы. В 1992 закончил аспирантуру и успешно защитил кандидатскую диссертацию на тему «Обеспечение энергетических потребностей детей в экстремальных состояниях».
В 1993 году принят на работу ассистентом кафедры детской анестезиологии и реаниматологии БелМАПО. В 2000 году присвоено ученое звание доцент по специальности «Клиническая медицина». В 2008 году перевелся на должность доцента созданной кафедры анестезиологии и реаниматологии Белорусского государственного медицинского университета. С января 2013 года работает в должности проректора университета по лечебной работе.
Алексей Евгениевич уделяет большое внимание научно-исследовательской работе со студентами. Ежегодно его ученики выступают с докладами на научно-студенческих конференциях.
Принимает активное участие в лечебной работе. Ежегодно им осматривается до 2000 детей в ОИТР клинической базы и других лечебных учреждений г, Минска и республики. Участвует в консилиумах детей находящихся в критических состояниях в отделении реанимации и интенсивной терапии различных ЛПУ Республики Беларусь. В среднем совершает 10–12 выездов по линии РЦЭМП. Принимает активное участие в анестезиологическом обеспечении, ежегодно проводит до 65–70 наркозов. Консультирует до 10–12 детей по лечебным учреждениям г. Минска.
Кулагин А.Е. принимал активное участие в восстановлении работы Белорусского общества анестезиологов и реаниматологов (БОАР), где в настоящее время является членом Президиума БОАР и проводит активную работу по внедрению новых технологий в работу отделений анестезиологии и реаниматологии различных регионов Республики Беларусь.
С его помощью широко внедряются в клиническую практику методы низкопотоковой и регионарной анестезии у детей. Принимает активное участие в заседаниях круглого стола, проводимых под эгидой журнала «Здравоохранение». Активно участвует в повышении квалификации среднего медицинского персонала. Является членом редакционной коллегии журнала «Медицинские знания».
Кулагин А.Е. автор и соавтор 135 научных публикаций, в том числе 3 практических руководств для врачей, 4 справочника, «Избранных лекций по анестезиологии и реаниматологии детского возраста» и 43 учебно-методических пособий. Соавтор рационализаторского предложения.
Защитил кандидатскую диссертацию на соискание степини к.м.н. по теме: «Обеспечение энергетических потребностей детей в экстремальных состояниях (1992 г.).